連除法の重要例題とその解法を図解入りで詳しく説明。解法をきちんと理解して算数の計算力ＵＰ・得点力ＵＰ・ＹＴ対策としてご自由にお使い下さい。
最大公約数や最小公倍数を求めるときに使う計算方法
小さい公約数で割り切れるまで割っていく。
例えば、２４と３６の最大公約数と最小公倍数を求める場合は以下のように計算します。
① ２４と３６の一番小さい公約数は２なので２４と３６の両方を２で割ります。
↓
② ２４と３６を２で割ったときの商を下に書きます。（１２と１８）
↓
③ １２と１８の一番小さい公約数は２なので１２と１８の両方を２で割ります。
↓
④ １２と１８を２で割ったときの商を下に書きます。（６と９）
↓
⑤ ６と９の一番小さい公約数は３なので６と９の両方を３で割ります。
↓
⑥ ６と９を３で割ったときの商を下に書きます。（２と３）
↓
⑦ ２と３の公約数は１しかないので作業は終了です。
↓
⑧ 左側に出てきた数字を全てかけると最大公約数になります。
最大公約数 ⇒ ２×２×３＝１２
⑨ 左側と下側に出てきた数字を全てかけると最小公倍数になります。
最小公倍数 ⇒ ２×２×３×２×３＝７２
『２つの整数Ａ、Ｂの最大公約数をＧ、最小公倍数をＬとする。ＡをＧで割った商をａ、ＢをＧで割った商をｂとする（ただしａとｂは互いに素）』と以下のような公式が成り立ちます。
※ 互いに素とは「公約数を１以外に持たない」ということです。
もし、ａとｂに１以外の公約数があったらＧが最大公約数ということと矛盾してしまいますね！
①の公式 Ａ＝Ｇ×ａ Ｂ＝Ｇ×ｂはすぐにわかると思います。ＡをＧで割った商がａですから、当然ＧとａをかけたらＡになります。Ｂについても同様です。
②の公式 Ｌ＝Ｇ×ａ×ｂは先程の２４と３６の最小公倍数を求めるときに示したとおりです。左側と下側に出てきた数字を全てかけると最小公倍数が求められるというものです。
③の公式 Ａ×Ｂ＝Ｇ×Ｌ これは非常に便利です。しかも覚えやすい公式なので必ず覚えましょう！
先程の２４と３６の最大公約数（１２）と最小公倍数（７２）の例で考えてみると、
２４×３６＝８６４
１２×７２＝８６４
と同じ数字になります！
【証明】
②の公式より Ｌ＝Ｇ×ａ×ｂなので
Ｇ×Ｌ＝Ｇ×Ｇ×ａ×ｂ （１）
となります。
また Ａ×Ｂは①の公式より
Ａ×Ｂ＝Ｇ×ａ×Ｇ×ｂ
＝Ｇ×Ｇ×ａ×ｂ （２）
よって（１）と（２）より Ａ×Ｂ＝Ｇ×Ｌが証明されました。
【重要問題１】
２つの整数があります。２つの整数の最大公約数は１５で最小公倍数は１８０のとき、２つの整数の組を全て求めなさい。
【解法】
２つの整数をＡ、Ｂ、最大公約数で割った商をａ、ｂとすると
１５×ａ×ｂ＝１８０
ａ×ｂ＝１２
（ａ、ｂ）＝（１、１２）（２、６）（３、４） となります。
しかし（ａ、ｂ）＝（２、６）の組はａとｂが互いに素ではないので×
よって （ａ、ｂ）＝（１、１２）（３、４）
このとき （Ａ、Ｂ）＝（１５、１８０）（４５、６０）
となります。
答え （１５、１８０）と（４５、６０）
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