等差数列の□番目の数・等差数列の和の重要例題とその解法を図解入りで詳しく説明。解法をきちんと理解して算数の計算力ＵＰ・得点力ＵＰ・ＹＴ対策としてご自由にお使い下さい。

等差数列

等差数列のポイント

等差数列とは

ある数に、一定の数を次々に加えたり、ある数から一定の数を次々にひいたりして作られる数列

（例）　２、５、８、１１、１４、１７、２０

はじめの数（初項）　２
終わりの数（末項）　２０
加える数（公差）　３

等差数列の重要公式

Ｎ番目の数＝はじめの数＋加える数×（Ｎ－１）
等差数列の和＝（はじめの数＋終わりの数）×個数÷２

（例）　２、５、８、１１、１４、１７、２０……の等差数列で考えると、

例えば、３０番目の数は

Ｎ番目の数＝はじめの数＋加える数×（Ｎ－１）より、

　２＋３×（３０－１）
＝２＋３×２９
＝２＋８７
＝８９

３０番目の数は８９

また、３０番目の数までの和は、

等差数列の和＝（はじめの数＋終わりの数）×個数÷２より、

　（２＋８９）×３０÷２
＝９１×１５
＝１３６５

３０番目の数までの和は１３６５

『等差数列の和』で覚えておいた方が良い数字（三角数）

　１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０……の等差数列の

１～１０までの和　⇒　　　５５　　　（１＋１０）×１０÷２＝５５　
１～１５までの和　⇒　　１２０　　　（１＋１５）×１５÷２＝１２０
１～２０までの和　⇒　　２１０　　　（１＋２０）×２０÷２＝２１０
１～３０までの和　⇒　　４６５　　　（１＋３０）×３０÷２＝４６５
１～１００までの和　⇒５０５０　　　（１＋１００）×１００÷２＝５０５０

※　こららの数はいわゆる『三角数』と呼ばれる数字です。上記がよくでてくる数字ですが、もっと欲を言えば、「１～１０までの和」から「１～２０まで和」の間に出てくる三角数は全て覚えた方が良いでしょう。なぜなら、小学校６年生で扱う「規則性の問題（数表）」で頻出するからです。

１～１０までの和　⇒　　　５５
１～１１までの和　⇒　　　６６
１～１２までの和　⇒　　　７８
１～１３までの和　⇒　　　９１
１～１４までの和　⇒　　１０５
１～１５までの和　⇒　　１２０
１～１６までの和　⇒　　１３６
１～１７までの和　⇒　　１５３
１～１８までの和　⇒　　１７１
１～１９までの和　⇒　　１９０
１～２０までの和　⇒　　２１０

等差数列の和の問題や規則性（数表）の問題を何問か解きながら、体で覚えていくのがベターです！

１～Ｎ番目の奇数までの和　Ｎ^２

※　この数はいわゆる『四角数』もしくは『平方数』と呼ばれる数字です。この数字もまた、規則性の問題で頻出です。完全に覚えましょう！

「等差数列」の重要問題とその解法

【重要問題１】
　あるきまりにしたがって、下のように数をならべました。
　３、９、１５、２１、２７、３３、……
　これについて、次の問いに答えなさい。

（１）　はじめからかぞえて１５番目の数はいくつですか。
（２）　１３５は何番目にありますか。

【解法】

（１）　Ｎ番目の数＝はじめの数＋加える数×（Ｎ－１）より、

　　　１５番目の数＝３＋６×（１５－１）
　　　　　　　　　　　＝３＋６×１４
　　　　　　　　　　　＝３＋８４
　　　　　　　　　　　＝８７

　　答え　８７

（２）　Ｎ番目の数＝はじめの数＋加える数×（Ｎ－１）より、

　　　Ｎ番目の数が１３５と考えると、
　　　
　　　３＋６×（Ｎ－１）＝１３５　という式が成り立ちます。

　　　逆算でＮを求めると

　　　１３５－３＝１３２　……６×（Ｎ－１）の値

　　　１３２÷６＝２２　　……（Ｎ－１）の値

　　　２２＋１＝２３　　……Ｎの値

　　答え　２３番目

【重要問題２】
　あるきまりにしたがって、下のように数字をならべました。
　１３９、１３５、１３１、……、１１、７、３
　これについて、次の問いに答えなさい。

（１）　全部で何個の数字をならべましたか。
（２）　この数列のちょうど真ん中の数はいくつですか。

【解法】

（１）　数列の順序をひっくりかえして、はじめの数を３、加える数を４と考えると

　　　Ｎ番目の数＝はじめの数＋加える数×（Ｎ－１）より、

　　　Ｎ番目の数が１３９と考えると、
　　　
　　　３＋４×（Ｎ－１）＝１３９　という式が成り立ちます。

　　　逆算でＮを求めると

　　　１３９－３＝１３６　……４×（Ｎ－１）の値

　　　１３６÷４＝３４　　……（Ｎ－１）の値

　　　３４＋１＝３５　　……Ｎの値

　　　答え　３５個

（２）　数列の真ん中は何番目になるのか？

　　　数列の個数を奇数（奇数でなければ真ん中というのはないですよね！）　
　　　数列の個数をＮ個とすると

　　　真ん中＝（Ｎ＋１）÷２　番目

　　　のなります。

　　　よって、ちょうど真ん中は　

　　　（３５＋１）÷２＝１８番目になります。

　　　１３９－４×（１８－１）　←４ずつ減っていく等差数列だから『－』になる！
　＝１３９－４×１７
　＝１３９－６８
　＝７１

　　答え　７１

【重要問題３】
　下のような等差数列があります。これについて、次の問いに答えなさい。
　２、７、１２、１７、２２、２７、……１４７

（１）　全部で何個の数字がならんでいますか。
（２）　上の等差数列の数をすべて加えると、その和はいくらになりますか。

【解法】

（１）　Ｎ番目の数＝はじめの数＋加える数×（Ｎ－１）より、

　　　Ｎ番目の数が１４７と考えると、
　　　
　　　２＋５×（Ｎ－１）＝１４７　という式が成り立ちます。

　　　逆算でＮを求めると

　　　１４７－２＝１４５　……５×（Ｎ－１）の値

　　　１４５÷５＝２９　　……（Ｎ－１）の値

　　　２９＋１＝３０　　……Ｎの値

　　　答え　３０個

（２）　等差数列の和＝（はじめの数＋終わりの数）×個数÷２より、

　　　（２＋１４７）×３０÷２
　＝１４９×１５
　＝２２３５

　　　答え　２２３５

【重要問題４】
　６でわると２あまる２けたの整数について、次の問いに答えなさい。

（１）　最も大きい数はいくつですか。
（２）　このような整数をすべて加えると、その和はいくらになりますか。

【解法】

（１）　６で割ると２あまる数　⇒『６の倍数＋２』

　　　１００÷６＝１６…４　より
　　　
　　　６×１６＋２＝９８

　　　答え　９８

（２）　６で割ると２あまる数で一番小さい２けたの整数は

　　　６×２＋２＝１４

　　　１４～９８までに数字が何個あるか計算すると

　　　６×２＋２＝１４
　　　６×１６＋２＝９８

　　　かける数に着目すると２～１６になっています。

　　　ということは、

　　　１６－２＝１４
　　　１４＋１＝１５個

　　　等差数列の和＝（はじめの数＋終わりの数）×個数÷２より

　　　（１４＋９８）×１５÷２
　　＝１１２×１５÷２
　　＝５６×１５
　　＝８４０

　　　答え　８４０