約数と公約数（基礎編）の重要例題とその解法を図解入りで詳しく説明。解法をきちんと理解して算数の計算力ＵＰ・得点力ＵＰ・ＹＴ対策としてご自由にお使い下さい。

約数と公約数（基礎編）

約数と公約数のポイント

約数とは

０でない２つの整数Ａ、Ｂがあり、ＡがＢでわり切れる（Ａ÷Ｂが整数になる）とき、ＢはＡの約数であるといいます。

わり算Ａ÷Ｂ＝Ｃは、　Ａ＝Ｂ×Ｃ　Ａ÷Ｃ＝Ｂのように表せることから、次のことがわかります。

０でない３つの整数Ａ、Ｂ、Ｃが　Ａ＝Ｂ×Ｃ　という関係にあるとき、

①　Ａは、Ｂ、Ｃの倍数である。
②　Ｂ、ＣはＡの約数である。

（例）　２４の約数　……１、２、３、４、６、８、１２、２４
　　　　　５の倍数　……１、５

※　約数を過不足なく書き出すときのポイント

「約数を全て書きなさい」という問題で、約数を過不足なく書き出しているかを簡単にチェックする方法があります。

それは自分が書き出した約数を両端からセットにしてみます。
それらのセットにした２つの数の積が全てもとの数（この場合２４）になれば、きちんと書き出せています。

　１×２４＝２４　　２×１２＝２４　３×８＝２４　４×６＝２４

もし、きちんと書き出せていないと余ってしまう数が出てきます。

　１×２４＝２４　２×１２＝２４　３×８＝２４　４は？　

　「４」が余っています。

　何が足りないかといえば「４の相棒」

　つまり、４とかけ算をしたときに２４になる数です。すなわち「６」です。

　このように約数を書き出していけば過不足なく正確に約数を書き出すことができます。

公約数とは

２つ以上の整数に共通な約数を公約数といいます。

（例）　１２の約数　……１、２、３、４、６、１２
　　　　　８の約数　……１、２、４、８

なので、１２と８の公約数は１、２、４となります。

最大公約数とは

公約数のうち、最も大きい数を最大公約数といいます。

（例）　１２と８の最大公約数　…４

なお、最大公約数の簡単な求め方に「連除法」というものがあります

公約数を書き出すときのポイント　

⇒公約数は最大公約数の約数

「約数・公約数」の重要問題とその解法

【重要問題１】
　次の①～④の整数について、次の問いに答えなさい。

　①　３９　　②　４１　　③　６７　　④　７２

（１）　３を約数に持つ整数はどれですか。すべて答えなさい。
（２）　７２の約数は、全部で何個ありますか。

【解法】

（１）　３を約数に持つ数は３でわり切れる数（３の倍数）です。

　　　３９÷３＝１３　７２÷３＝２４　

　　　答え　①　④

　　　参照⇒倍数の判別法

（２）　７２を２つの整数の積に直すと

　　　１×７２＝７２　　２×３６＝７２　　３×２４＝７２
　　　４×１８＝７２　　６×１２＝７２　　８×９＝７２

　　　よって７２の約数は１２個になります。

　　　参照⇒素因数分解による約数の個数の求め方

【重要問題２】
　５２をわると４あまる整数をすべて求めなさい。

【解法】

　ある整数をＡとすると、５２をある整数Ａで割ったときに４あまるということなので

　５２÷Ａ＝Ｂ…４

　と書けます。

　ということは　５２－４＝４８

　ならばわり切れるということです。

　よってＡは４８の約数になります。

　ただし、「割る数＞あまり」なので

　Ａは４８の約数の中で４より大きい数になります。

　４８の約数：１、２、３、４、６、８、１２、１６、２４、４８

　この中で４より大きい数は６、８、１２、１６、２４、４８

　答え　６、８、１２、１６、２４、４８

※注意！　Ａ÷５２＝Ｂ…４　ではありません。
このような式になるのは「５２でわると４あまる整数」と書かれている場合です。「を」「で」という「助詞」に気をつけましょう！

【重要問題３】
　青い紙が４５枚と赤い紙が３０枚あります。これらの紙を子どもたちにそれぞれ同じ枚数ずつ配ったところ、青い紙は３枚あまり、赤い紙は２枚あまりました。子どもの人数は何人ですか。考えられる人数をすべて答えなさい。

【解法】

子どもの人数を□人、１人に青い紙をx枚、赤い紙をｙ枚配ったとすると

x×□＝４５－３
　　　＝４２

ｙ×□＝３０－２
　　　＝２８

より□は４２と２８の公約数と分かります。

４２と２８の最大公約数は１４ですから、

□は１、２、７、１４

ここで、「割る数＞あまり」なので青い紙が３枚あまったことから配った人数は３人より多くなります。

したがって、子どもの人数は７人、１４人とわかります。